Question

定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y²=x上移动,求AB的中点到y轴的距离的最小值,并求出此时AB中点的坐标.

Answer 1

解:如图,设F是y²=x的焦点,A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD.

    又M到准线的垂线为MN,C、D和N是垂足,则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)≥|AB|=.

    设M点的横坐标为x,纵坐标为y,|MN|=x+,则x≥-=,而等式成立的条件是AB过点F.

    当x=时,y₁y₂=-p²=-,

    故(y₁+y₂)²=y₁²+y₂²+2y₁y₂=2x-=2,

    ∴y₁+y₂=±,y=±.∴M(,?±),此时M到y轴的距离的最小值为.