Question

【题目】定义在上的函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有且仅有一个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或

【解析】

（1）求导可得，再求得极值点，并分析与区间端点的大小关系，进而求得在区间上导函数的正负以及原函数的单调性即可；

（2）根据（1）所得的单调性，分析极值点的正负或等于是否满足条件，再结合区间端点的正负，利用零点存在性定理求解即可.

.

（1）时，恒成立，令，得.

①当，即时，在上恒成立，

则在恒成立，在上单调递增；

②当,即时,在上恒成立，

则在恒成立,在上单调递减；

③当，即时，若，

即时,，单调递减；

若，即时，,单调递增.

综上所述,当时，在上单调递增；时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）①当时，在上单调递增，而，此时无零点；

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

若函数在上有唯一零点，则有或.

,

解得.

，解得，故.

③当时，在上单调递减，，在上存在唯一零点.

综上可知，或.