Question

数列{a_n} 满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1-cos²）a_n+2sin²，n=1，2，3…
（1）求a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_2n．

Answer 1

【答案】分析：（1）在a_n+2的表达式中令n=1直接计算即得a₃，令n=2求出a₄，对n分奇偶数分类求解，再考查通项公式．
（2）利用分组求和法计算求和．
解答：解：（1）
=
一般地，
=a_2n-1+2
即a_2n-1-a_2n-1=2
即数列{a_2n-1}是以a₁=1，公差为2的等差数列．∴a_2n-1=2n-1
又=a_2n
即数列{a_2n}是首项为a₂=2，公比为的等比数列
∴=
综上可得
（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…a_2n）
=[1+3+…+（2n-1）]+[2++…]
=
点评：本题考查三角函数公式、数列通项公式、数列求和．考查分类讨论、转化的思想方法及分析解决问题、计算的能力．