Question

已知正项数列{a_n}满足

a

1

=P(0＜P＜1)，且

a

n+1

=

a   n

a   n +1

，
（1）求数列的通项a_n；
（2）求证：

a   1

2

+

a   2

3

+

a   3

4

+…+

a   n

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知an+1=

an

an+1

可得，

1

an+1

=

an+1

an

=

1

an

+1，

1

a1

=

1

p

即

1

an+1

-

1

an

=1
数列{

1

an

}是以

1

p

为首项，以1为公差的等差数列，从而可求
（2）由（1）可得an=

1

n-1+ 1 p

结合0＜P＜1可得

an

n+1

=

1

(n+1)(n-1+ 1 p )

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和可证

解答：解：由已知an+1=

an

an+1

可得，

1

an+1

=

an+1

an

=

1

an

+1，

1

a1

=

1

p

即

1

an+1

-

1

an

=1
数列{

1

an

}是以

1

p

为首项，以1为公差的等差数列
∴

1

an

=

1

p

+(n-1)×1=n-1+

1

p

即an=

1

n-1+ 1 p

∵0＜P＜1∴

1

p

-1＞0
∴

an

n+1

=

1

(n+1)(n-1+ 1 p )

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

a1

2

+

a2

3

+…+ 

an

n+1

 ＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

＜1即证

点评：本题主要考查了利用构造等差数列求解通项公式、裂项求和是证明（2）的关键，解题的难点在于发现通项中

an

n+1

=

1

(n+1)(n-1+ 1 p )

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．