题目内容
【题目】已知四棱锥
，
，
，
，
，
，
平面
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）当
时，求直线
和平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，由条件可证明
，
，即证明
平面
；
（2）由条件可知
，所以以C为原点，直线
，
，
分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，先求平面
的法向量，利用公式
求解.
解：（1）在
中，由余弦定理，知
，
将
，
，
代入上式，计算得
，故
，
所以.
又
平面
，
平面，
所以
，
所以平面，
又平面
，
故平面
平面
.
（2）由（1）知，
，
故.
又平面，所以
，
，
两两垂直，以C为原点，
直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：
依题意，
，
，
，
，
则
，
，
假设平面的一个法向量为
，
由
得
即
令
，解得
.
而
，设直线和平面所成的角为
，
则
即和平面所成角的正弦值为.
练习册系列答案
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【题目】生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
（1）完成下列
列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数
的分布列及数学期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
