Question

设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S_n是其前n项和．记b_n＝，n∈N^*，其中c为实数．

(1) 若c＝0，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：S_{n k}＝n²S_k(k，n∈N^*)；

(2) 若{b_n}是等差数列，证明：c＝0.

Answer 1

证明：∵  {a_n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S_n是其前n项和，

∴  S_n＝na＋d.

(1) ∵  c＝0，∴  b_n＝＝a＋d.

∵  b₁，b₂，b₄成等比数列，∴  b＝b₁b₄，

∴

∴  ad－d²＝0，

∴  ＝0.

∵  d≠0，∴  a＝d，∴  d＝2a，

∴  S_n＝na＋d＝na＋2a＝n²a，

∴  左边＝S_nk＝(nk)²a＝n²k²a，右边＝n²S_k＝n²k²a，

∴  左边＝右边，∴  原式成立．

(2) ∵  {b_n}是等差数列，

∴  设公差为d₁，

∴  b_n＝b₁＋(n－1)d₁

代入b_n＝，得b₁＋(n－1)d₁＝，

∴＋cd₁n＝c(d₁－b₁)对n∈N^*恒成立，

∴ 

∴  d₁＝d.∵  d≠0，∴  d₁≠0.