Question

已知数列满足：其中，数列满足：
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer 1

（1）（2）（3）的取值集合是

解析试题分析：(1)先由递推公式求出 
再用递推公式求出 ；
(2)由  
两式相减可得 即： ,于是结合（1）的结论可得 .
(3)对于这类问题通常的做法是假设 的值存在,由（1）的结果知，
或 ,接下来可用数学归纳法证明结论成立即可.
试题解析：（1）经过计算可知：
.
求得.                               （4分）
（2）由条件可知：.       ①
类似地有：.       ②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故

所以：.                               （8分）
（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.
则由（2）可知：       ③
由，及可知.
当时，为整数，利用，结合③式，反复递推，可知，，，， 均为整数.
当时，③变为     ④
我们用数学归纳法证明为偶数，为整数
时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，所以时，命题成立.
故数列是整数列.
综上所述，的取值集合是.                             （14分）
考点：1、数列的递推公式；2、数学归纳法.