Question

14．已知函数$f（x）={log_9}（{9^x}+1）-\frac{1}{2}x$的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+b没有交点，则b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 函数y=f（x）的图象与y=$\frac{1}{2}$x+b直没有交点，方程$f（x）={log_9}（{9^x}+1）-\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$x+b无解，从而方程log₉（9^x+1）-x=b无解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．可以验证g（x）为减函数，从而得到g（x）＞0，进而可求实数b的取值范围．

解答 解：由题意知方程$f（x）={log_9}（{9^x}+1）-\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$x+b没有解，即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
∵$g（x）=lo{g}_{9}（{9}^{x}+1）-x=lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜${9}^{{x}_{1}}$＜${9}^{{x}_{2}}$，从而$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}＞\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$，
可知g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
∵$1+\frac{1}{{9}^{x}}＞1$，
∴$g（x）=lo{g}_{9}（{9}^{x}+1）-x=lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$＞0，
函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点，只需b≤0即可．
∴b的取值范围是（-∞，0]．
故选：A

点评 本题重点考查函数的性质，考查函数与方程的关系，解题的关键是正确运用偶函数的定义，合理将问题进行等价转化