Question

2．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f′（x）≠0．试证存在ξ，η∈（a，b），使得$\frac{f′（ξ）}{f′（η）}=\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}•{e}^{-η}$．

Answer 1

分析 求导函数与端点函数的关系．一般考虑到使用中值定理．ξ、η可能不相等，那么可以分成两个函数分别应用中值定理．首先对分子中的ξ点应用中值定理，即可得到关于η点的表达式，再求解．

解答 解：因为函数f（x）在[a，b]上连续，所以，应用拉格朗日中值定理知：存在ξ∈（a，b），
使得f′（ξ）•（b-a）=f（b）-f（a），即 f′（ξ）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．
要求存在ξ、η∈（a，b），使得$\frac{f′（ξ）}{f′（η）}=\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}•{e}^{-η}$，代入f′（ξ）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则只需求存在η∈（a，b），
使得f′（η）=$\frac{f（b）-f（a）}{{e}^{b}-{e}^{a}}$•e^η，即$\frac{f′（η）}{{e}^{η}}$=$\frac{f（b）-f（a）}{{e}^{b}-{e}^{a}}$•
显然，只需对在[a，b]上应用柯西中值定理即可，
故存在ξ，η∈（a，b），使得$\frac{f′（ξ）}{f′（η）}=\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}•{e}^{-η}$．

点评 本题考查柯西中值定理．易错点为对g（x）使用中值定理．本题需理解中值定理的各种应用形式