Question

△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（2sinA，-

3

），

n

=（cos2A，2cos²

A

2

-1），且

m

∥

n

．
（1）求锐角A 的大小；
（2）a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的条件，再利用二倍角公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理可得16=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc（当且仅当b=c时取等号），进而可求△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2sinA，-

3

），

n

=（cos2A，2cos²

A

2

-1），且

m

∥

n

．
∴2sinA（2cos²

A

2

-1）+

3

cos2A=0
∴sinA+

3

cos2A=0
∴6sin²A-

3

sinA-3=0
∴sinA=

3

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

（2）∵a=4，∴16=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc（当且仅当b=c时取等号）
∴△ABC面积=

1

2

bcsinA≤4

3

∴△ABC面积的最大值为4

3

．

点评：本题考查向量共线的条件，考查三角函数的化简，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，属于中档题．