Question

若钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，则m的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（0，2）
• C、[1，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

分析：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，因为钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列得到B为60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一个关系式，根据三角形为钝角三角形得到a²+b²-c²＜0，把求得的关系式代入不等式即可求得最大边c与最小边a比值即m的范围．

解答：解：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，
因为三内角的度数成等差数列，所以2B=A+C，则A+B+C=3B=180°
故可得B=60°，根据余弦定理得：cosB=cos60°=

1

2

=

a2+b2-c2

2ab

于是b²=a²+c²-ac，
又因为△ABC为钝角三角形，故a²+b²-c²＜0，
于是2a²-ac＜0，即

c

a

＞2
则m=

c

a

＞2即m∈（2，+∞）
故选A

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质及钝角三角形三边的平方关系，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．