Question

抛物线的方程为，过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同)，且满足（且）．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；
（3）当=1时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围.

Answer 1

（1）焦点坐标为，准线方程为；（2）证明详见解析；（3）.

试题分析：（1）数形结合，依据抛物线的标准方程写出焦点坐标和准线方程；（2）设直线的方程为，直线的方程为，分别联立直线与抛物线的方程消去得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到、，再由求出点的横坐标，即可证明；（3）为钝角时，必有，用表示，通过的范围求的范围即可.
试题解析：（1）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为
（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为
点和点的坐标是方程组
的解将②式代入①式得，于是，故　③
又点和点的坐标是方程组
的解将⑤式代入④式得于是，故
由已知得，，则　　⑥
设点的坐标为，由，则
将③式和⑥式代入上式得，即所以线段的中点在轴上
（3）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为
由③式知，代入得
将代入⑥式得，代入得
因此，直线分别与抛物线的交点的坐标为
，于是，

因为钝角且三点互不相同，故必有
求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故
当时，；当时，即.