Question

设:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以为焦点,离心率.设是的一个交点.

(1)当时,求椭圆的方程.
(2)在(1)的条件下,直线过的右焦点,与交于两点,且等于的周长,求的方程.
(3)求所有正实数,使得的边长是连续正整数.

Answer 1

(1)的方程为.(2)的方程为或.（3）

试题分析：(1)已知焦点，即可得椭圆的故半焦距为,又已知离心率为，故可求得半长轴长为2,从而知椭圆的方程为.(2)由(1)可知的周长，即等于6. 设的方程为代入，然后利用弦长公式得一含的方程，解这个方程即得的值，从而求得直线的方程.(3)由得.根据题设，将的三边用表示出来，再根据的边长是连续正整数，即可求得的值.
试题解析：(1)由条件,是椭圆的两焦点,故半焦距为,再由离心率为知半长轴长为2,从而的方程为,其右准线方程为.
(2)由(1)可知的周长.又:而.
若垂直于轴,易得,矛盾,故不垂直于轴,可设其方程为,与方程联立可得,从而
,
令可解出,故的方程为或.
(3)由得.设，由于点P在椭圆上，所以；由点P在抛物线上知，，所以，，所以，.又.由此可得，若的边长是连续正整数,则，解之得，其对应的三边为5，6，7.