Question

【题目】如图，三棱维中，平面平面，，，是棱的中点，点在棱上点是的重心．

（1）若是的中点，证明面；

（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在点，使二面角的大小为，此时.

【解析】

（1）延长交于点，连接，证明平面平面，得到证明.

（2）证明平面，以为原点建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.

（1）延长交于点，连接，因为点是的重心，故为的中点，

因为，分别是棱，的中点，所以，，

又因为，所以平面平面，又平面，

所以平面．

（2）连接，因为，所以，又是的中点，

所以，

因为平面平面，而平面平面，平面，

所以平面，

如图，以为原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴建空间直角坐标系，

设，则，，

所以，，，，，

假设存在点，设，，

则，

所以，又，

设平面的法向量为，则，

令，解得，

又平面，平面的法向量，

而二面角的大小为，所以，

即，解得，

所以存在点，使二面角的大小为，此时．