题目内容
【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数).
(1)若函数在点
处的切线的斜率为
,求实数
的值;
(2)当时,讨论函数
的单调性;
(3)若关于的不等式
在区间
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)2;(2)当时,单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;当
时,单调递减区间为
,
,单调递增区间为
;(3)
【解析】
(1)由,得出
,利用
,解得
;
(2),
,令
,解得:
或0, 对
分类讨论,利用导数研究出函数
的单调性;
(3)由于在区间
上恒成立,转化为
在区间
上恒成立,即当
时,
,设
,则
,构造函数
,通过对
分类讨论,利用导数研究函数
的单调性,即可求出实数
的取值范围.
(1)解:由于,
,
,
因为函数在点
处的切线的斜率为
,
所以,
解得:.
(2)解:依题意知,,
令,解得:
或0,
当时,令
,得
或
,
所以函数的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
,
当时,令
,得
,
所以函数的单调递减区间为
,
,单调递增区间为
.
(3)解:由于在区间
上恒成立,
即在区间
上恒成立,
依题意,当时,
,
即当时,
,
设,
则,
设,
则,
①当时,
当时,
,从而
,
所以在区间为
上单调递增,
又∵,
当时,
,从而
时,
,
所以在区间为
上单调递减,
又∵,
从而当时,
,
即,
于是当时,
;
②当时,令
,得
,
∴,
当时,
,
∴在区间
上单调递减,
又∵,
当时,
,
从而当时,
,
∴在区间
上单调递增,
又∵,
从而当时,
,
即,不合题意,
综上所述,实数的取值范围为
.
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