题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是
，
中点，
为线段
上的一个动点.
（1）证明：
平面
；
（2）当二面角
的余弦值为
时，证明：
.
【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析
【解析】
（1）取
中点
，连
，可证四边形
为平行四边形，得到
，即可证明结论；
（2）不妨设
，如下图建立空间直角坐标系
，设
，得到
坐标， 求出平面
的法向量坐标，取平面
法向量为
，根据已知求出
，证明
即可.
（1）如图，取中点，连，
因为
是
的中点，所以
，
在直三棱柱
中，
，
因为
是
中点，所以
，
所以四边形为平行四边形，，
因为
平面
，
平面，
所以
平面；
（2）不妨设，如图建立空间直角坐标系，
设
，
，
，
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，
所以平面的一个法向量
，
平面
的一个法向量，
所以
，
此时
，
，
所以
，即
.
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