题目内容
【题目】已知平面直角坐标系
中，曲线
的方程为
，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．若将曲线上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的
倍，得曲线
．
（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设点
， 直线与曲线的两个交点分别为
，
，求
的值．
【答案】（1）
，
（2）
【解析】
（1）转化直线
的极坐标方程为
，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线的直角坐标方程；设点
在曲线
上，点
为坐标变换后点的对应点，由题意得
，代入化简即可得解；
（2）写出直线的参数方程
,(t为参数)，代入
的直角坐标方程，由根与系数的关系可得
，
，转化条件
即可得解.
（1）
直线的极坐标方程可化为，
直线的直角坐标方程为；
设点在曲线上，点为坐标变换后点的对应点，
则，
，化简得
，
曲线的直角坐标方程为；
（2）由题意点
在直线上，
则直线的参数方程为,(t为参数)，
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得：
，
，
则，，
.
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