题目内容
20．方程（a2+1）x2-2ax-3=0的两根x1，x2满足|x2|＜x1（1-x1），且0＜x1＜1，则实数a的取值范围为$a∈（-\frac{3}{2}，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，+∞）$．分析 根据方程根的个数与判别式之间的关系证明△＞0恒成立，由题意判断出另一个根的范围，再由f（1）＞0求出a的范围，利用f（0）＜0进一步确定两个根的关系，再由韦达定理求出a范围，再取交集．
解答 解：∵|x2|＜x1（1-x2），∴x1（1-x2）＞0，
又∵0＜x1＜1，∴x2＜1
设f（x）=（a2+1）x2-2ax-3，∵方程有两根，∴△=4a2+12（a2+1）＞0恒成立，
则f（1）=a2-2a-2＞0，解得a＞1+$\sqrt{3}$或a＜1-$\sqrt{3}$；
∵f（0）=-3，
∴x2＜0＜x1＜1，
则|x2|＜x1（1-x2）可化简为：x1+x2＞x1x2，
利用韦达定理得$\frac{2a}{{a}^{2}+1}$＞-$\frac{3}{{a}^{2}+1}$，
解得a＞-$\frac{3}{2}$．
∴实数a的取值范围是：（-$\frac{3}{2}$，1-$\sqrt{3}$）∪（1+$\sqrt{3}$，+∞）
故答案为：$a∈（-\frac{3}{2}，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，+∞）$
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
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11．
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如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex-1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）| A． | $\frac{1}{e}$ | B． | $\frac{1}{e-1}$ | C． | $1-\frac{1}{e}$ | D． | $\frac{e-2}{e-1}$ |
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