Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，是等边三角形，侧面底面，，，，点是棱上靠近点的一个三等分点．

（1）求证：∥平面；

（2）设点是线段（含端点）上的动点，若直线与底面所成的角的正弦值为，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）取棱上靠近点的一个三等分点，连接，，易证四边形是平行四边形，所以∥，再利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）作，垂足为点，由面面垂直的性质定理可得底面，以点为原点，为轴，过点且平行于的射线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由得到的坐标，设，则的坐标为，进一步得到，又为平面的一个法向量，再利用线面角的计算公式即可得到，即的长.

（1）取棱上靠近点的一个三等分点，连接，．

因为，所以∥且．

因为∥，所以∥．

又因为，，所以．

所以四边形是平行四边形．

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面．

（2）作，垂足为点，如图所示．

因为是等边三角形，所以点是线段的中点．

因为侧面底面，侧面底面，，侧面，

所以底面．

所以以点为原点，为轴，过点且平行于的射线为轴，为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，，是等边三角形，

所以，．

所以点，．

因为点是棱上靠近点的一个三等分点，所以，

所以，所以，

故点的坐标是．

设，则的坐标是．所以．

而易知平面一个法向量为；

设与底面所成的角为．

因为直线与底面所成的角的正弦值为，所以．

因为，

所以

，

解得．

所以线段的长为．