Question

【题目】如图，在中，分别为的中点，为的一个三等分点（靠近点）．将沿折起，记折起后点为，连接为上的一点，且，连接．

（1）求证：平面；

（2）若，直线与平面所成的角为，当最大时，求，并计算．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），

【解析】

（1）先根据平行线分线段成比例证得，再根据线面平行的判定定理证平面；

（2）根据线面位置关系建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．

（1）在中，因为为的三等分点（靠近点），为的中点，

所以．

又分别为的中点，所以，

所以，所以，

所以，所以．

又平面平面，所以平面．

（2）易知，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，

连接，由，可得，

则．

设为平面的法向量，

则，即，所以，

令，则，所以是平面的一个法向量．

所以，

所以当时，取最大值，也取最大值，此时，则，故．

所以当最大时，，.