[题目]已知长轴长为的椭圆C:的左.右焦点分别为F1.F2.且以F1.F2为直径的圆与C恰有两个公共点.(1)求椭圆C的方程,(2)若经过点F2的直线l与C交于M.N两点.且M.N关于原点O的对称点分别为P.Q.求四边形MNPQ面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知长轴长为的椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值.

【答案】（1）y2＝1（2）2

【解析】

（1）由题意可得的值及，再由，，之间的关系求出，进而求出椭圆的方程；

（2）由（1）可得右焦点的坐标，由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形的面积，由均值不等式可得面积的最大值．

解：（1）由题意可得，且，又，所以可得，，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）可得右焦点，再由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，

设，，，，联立直线与椭圆的方程可得整理可得，所以，，

由题意可得四边形为平行四边形，

所以

，

当且仅当即时取等号，

所以四边形面积的最大值为．

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