Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，

2

），且离心率等于

3

2

，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意知b²=2，a²=8，所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直线l与y轴重合，则

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=

2- 2

2 -y0

=

2+ 2

2 +y0

，得y₀=1，得λ=

2

．若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-

16k

1+4k2

①，x1x2=

8

1+4k2

．由此可知λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（1分）
因为它的一个顶点为A（0，

2

），所以b²=2，
由离心率等于

3

2

，得

a2-b2 a2

=

3

2

，
解得a²=8，所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

2

=1（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直线l与y轴重合，
则

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=

2- 2

2 -y0

=

2+ 2

2 +y0

，得y₀=1，得λ=

2

（1分）
若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-

16k

1+4k2

①，x1x2=

8

1+4k2

②，（2分）
由

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

得

0-x1

x1-x0

=

0-x2

x0-x2

，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），
将①②代入得x0=-

1

k

，又点N（x₀，y₀）在直线l上，
所以y0=k×(-

1

k

)+2=1，（2分）
于是有1＜y1＜

2

，因此λ=

2-y1

y1-1

=

1-y1+1

y1-1

=

1

y1-1

-1，
由1＜y1＜

2

得

1

y1-1

＞

2

+1，
所以λ＞

2

，综上所述，有λ≥

2

（2分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．