Question

8．已知二阶矩阵A=$[\begin{array}{l}{3}&{5}\\{0}&{-2}\end{array}]$和向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，则A⁶$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{64}\\{-64}\end{array}]$．（用数字表示）

Answer 1

分析 求出矩阵A属于特征值-2的特征向量为$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，利用特征向量的定义与性质即可算出A⁶$\overrightarrow{β}$的值．

解答 解：矩阵A的特征多项式为f（λ）=（λ-3）（λ+2）
令f（λ）=0，得λ=3或λ=-2
将λ=-2代入二元一次方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{-5x-5y=0}\\{0•x+0•y=0}\end{array}\right.$，取x=1得y=-1
∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
∴A⁶$\overrightarrow{β}$=λ⁶$\overrightarrow{β}$=64$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{64}\\{-64}\end{array}]$，
故答案为$[\begin{array}{l}{64}\\{-64}\end{array}]$．

点评 本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．