Question

【题目】如图，在四棱锥中， ， .

（1）证明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：(1)由线平行先证得，再由各边长结合勾股定理逆定理，证得，运用面面垂直的判定定理即可证得(2) 以点为坐标原点，以的方向为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.求出平面的法向量为，平面的一个法向量为，利用公式计算求得结果

解析：（1）证明：因为，

所以.

因为，所以，

所以，

因为，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知， 平面，故以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

所以，

所以，

设平面的法向量为，

则，

所以，

取，则，

又因为平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的余弦值为.