Question

【题目】已知函数，又恰为 的零点.

(1)当时，求的单调区间；

(2)当时，求证

Answer 1

【答案】（1）单减区间为（0，），（，+∞），单增区间为（）；(2)见解析.

【解析】

（1）对函数f（x）求导数，利用a的取值范围，结合导数写出f（x）的单调区间；

（2）由g（x1）＝2lnx1﹣x12﹣(1-b)x1＝0，g（x2）＝2lnx2﹣x22﹣(1-b)x2＝0，通过两式相减，整理化简可得1-b（x2+x1），再代入计算可得g′（）[2ln]，然后换元，构造函数，根据导数和函数的最值即可证明.

（1）函数f（x）＝，；

∴f′（x）＝2ax+（）（x＞0），

因为，f′（x）＝0或，且，

∴当时，则f（x）的单减区间为（0，），（，+∞），单增区间为（）；

(2)当时，g(x)=2lnx--x+bx，

∴g′（x）(1-b)﹣2x.

∵x1，x2（x1＜x2）是g（x）的两个零点，

∴g（x1）＝2lnx1﹣x12﹣(1-b)x1＝0，g（x2）＝2lnx2﹣x22﹣(1-b)x2＝0，

两式相减可得2ln（x22﹣x12）﹣(1-b)（x2﹣x1）＝0，

∴1-b（x2+x1），

∵g′（x）(1-b)﹣2x，

∴g′（）（x2+x1）﹣[（x2+x1）][2ln][2ln]，

不妨设设t＝ln1，构造函数h（t）＝lnt，

则h′（t）0，

∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，

∴h（e）＞h（1）＝0，

∵0，

∴g′（）＜0，又,

∴.