Question

8．方程（k-6）x²+ky²=k（k-6）表示双曲线，且离心率为$\sqrt{3}$，则实数k的值为（　　）

• A． 4
• B． -6或2
• C． -6
• D． 2

Answer 1

分析 将方程转化成$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-6}$=1，根据双曲线的性质，根据焦点在x轴和y轴，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，代入即可求得k的值．

解答 解：将方程转化成：$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-6}$=1，
若焦点在x轴上，$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{k-6＜0}\end{array}\right.$，即0＜k＜6，
∴a=$\sqrt{k}$，c=$\sqrt{6}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{k}}$=$\sqrt{3}$，
解得：k=2，
若焦点在y轴上，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k-6＞0}\end{array}\right.$，无解，
综上可知：k=2，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的基本性质，考查离心率公式，考查分类讨论思想，属于基础题．