Question

已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；
（3）当时，函数的图像与x轴交于两点，且，又是的导函数，若正常数满足条件.证明：.

Answer 1

(1)-1；(2)  ；(3)参考解析

试题分析：(1)因为函数，当时.求出函数的导数，即可得到上函数的单调性，从而得到函数的最大值.
(2)因为，若在区间上不单调，即等价于函数在（0，3）上有实数解，且无重根.所以由，分离变量，通过研究函数，的范围，即可得到取值范围.
(3)因为当时，函数的图像与x轴交于两点，所以可得即可用表示m.又由化简.可消去m.即可得到关于的代数式，再利用导数知识求出的最值即可得结论.
试题解析：（1）
函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，
所以．
（2）因为，所以，
因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，
由，有=，（）
所以
（3）∵，又有两个实根，
∴，两式相减，得，
∴,
于是
．
．
要证：，只需证：
只需证：．(*)
令，∴(*)化为 ，只证即可． 在（0，1）上单调递增，，即．
∴．