Question

20．已知函数x²=4y的焦点是F，直线l与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l过焦点F且斜率为1，求线段AB的长；
（Ⅱ）若直线l与y轴不垂直，且|FA|+|FB|=3．证明：线段AB的中垂线恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意写出直线方程的斜截式，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合焦半径公式求得答案；
（Ⅱ）设直线l的方程y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，由|FA|+|FB|=3得到k与b的关系，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标，由线段AB的中点为定点可得答案．

解答 （Ⅰ）解：由x²=4y，得抛物线焦点F（0，1），
则直线l的方程为y=x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得y²-6y+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=6，
∴|AB|=y₁+y₂+2=8；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得y²-（4k²+2b）y+b²=0．
则${y}_{1}+{y}_{2}=4{k}^{2}+2b$，
∴|FA|+|FB|=${y}_{1}+{y}_{2}+2=4{k}^{2}+2b+2=3$，
则${k}^{2}=\frac{1-2b}{4}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}={y}_{1}+{y}_{2}-2=4{k}^{2}+2b-2$，
∴A，B的中点坐标为（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
则AB的中垂线恒过定点（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．