题目内容

11．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{cosθ-sinθ}$．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）利用坐标的互化方法，求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosφ-2sinφ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}sin（φ-\frac{π}{4}）+4}{\sqrt{2}}$，即可求出距离的最小值及点P的直角坐标．

解答 解：（1）曲线的C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），普通方程为（x-1）2+（y-1）2=4，
直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{cosθ-sinθ}$，直角坐标方程为x-y-4=0；
（2）点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosφ-2sinφ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}sin（φ-\frac{π}{4}）+4}{\sqrt{2}}$，
∴φ-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z），距离的最小值为2$\sqrt{2}$-2，点P的直角坐标（1+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题．

练习册系列答案
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