Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y=x+m（m≠0）与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|=|PB|，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为8．可得直线与抛物线的交点坐标为（8，-8），代入y²=2px．即可解出p．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y2=8x y=x+m

，化为y²-8y+8m=0，可得根与系数的关系，由题意可知OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，解出即可．

解答： 解：（1）∵抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为8．
∴直线与抛物线的交点坐标为（8，-8），代入y²=2px．
∴2p=8，
∴抛物线方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y2=8x y=x+m

化为y²-8y+8m=0，
△=64-32m＞0，
∴m＜2．
y₁+y₂=8，y₁y₂=8m，
∴x₁x₂=

(y1y2)2

64

=m²．
由题意可知OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=m²+8m=0，
∴解得m=-8或m=0（舍），
∴m=-8．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．