Question

已知函数f（x）=ax，g（x）=b•2^x的图象都经过点A（4，8），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=f（a_n-1）+g（n）（n≥2）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求证：数列{

an

2n-1

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列出方程即可求得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a_n=f（a_n-1）+g（n）=2a_n-1+2^n-1，即a_n=2a_n-1+2^n-1，两边同除以2^n-1得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

=1，即可得出结论；
（Ⅲ）当n=1时，

1

a1

=

1

1×21-1

=1＜

3

2

，当n≥2时，

1

an

=

1

n2n-1

≤

1

2•2n-1

=

1

2n

利用不等式放缩可得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax，g（x）=b•2^x的图象都经过点A（4，8），
∴

4a=8 16b=8

解得a=2，b=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2x，g（x）=2^x-1，
∴a_n=f（a_n-1）+g（n）=2a_n-1+2^n-1，即a_n=2a_n-1+2^n-1，
两边同除以2^n-1得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

=1，又

a1

21-1

=1，
∴数列{

an

2n-1

}是首项和公差都为1的等差数列．
∴

an

2n-1

=n，a_n=n2^n-1．
（Ⅲ）∵a_n=n2^n-1．∴

1

an

=

1

n2n-1

①当n=1时，

1

a1

=

1

1×21-1

=1＜

3

2

，
②当n≥2时，

1

an

=

1

n2n-1

≤

1

2•2n-1

=

1

2n

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

，
综上所述

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

对一切正整数n都成立．

点评：本题主要考查等差数列的定义及利用方程思想、不等式放缩思想解决问题的方法，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属难题．