Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，P是棱BC上的动点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若AB=2，当

BP

BC

为何值时，二面角P-ED-C的大小为45°．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AE中点O，连结BO，DO，由已知条件得BO⊥AE，OD⊥AE，由此能证明AE⊥BD．
（2）建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当

BP

BC

=

3

5

时，二面角P-ED-C的大小为45⁰．

解答： （1）证明：取AE中点O，连结BO，DO，
由题意△ABE，△ADE，△CDE均为正三角形，
∴BO⊥AE，OD⊥AE，
∵BO∩DO=0，∴AE⊥平面BOD，∴AE⊥BD．

（2）∵平面ABE⊥平面AECD，BO⊥AE，
平面ABE∩平面AECD=AE，∴BO⊥平面AECD，
∴BO⊥DO，∵OD⊥AE，
如图建立空间直角坐标系O-xyz，
AB=2，则BO=DO=

3

，B（0，0，

3

），
D（0，

3

，0），E（1，0，0），C（2，

3

，0），

BC

=(2，

3

，-

3

），

ED

=(-1，

3

，0)，

EB

=(-1，0，

3

)，
设

BP

BC

=m，

OP

=

OB

+

BP

=

OB

+m

BC

=(0，0，

3

)+m(2，

3

，-

3

)=(2m，

3

m，

3

-

3

m)，

EP

=(2m-1，

3

m，

3

-

3

m)，
设平面PDE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • ED =0 n • EP =0

，即

-x+ 3 y=0 (2m-1)x+ 3 my+( 3 - 3 m)z=0

令x=1，则

y= 3 3 z= 1-3m 3 - 3 m

∴

n

=(1，

3

3

，

1-3m

3 - 3 m

)
平面CDE的法向量为

m

=(0，0，1)，
| cos＜

n

，

m

＞ =

|  1-3m 3 - 3 m  |

12+( 3 3 )2+( 1-3m 3 - 3 m )2

=cos450=

2

2

，
∴

2

3

(

1-3m

1-m

)2=

4

3

+

1

3

(

1-3m

1-m

)2解得m=-1(舍)，或m=

3

5

所以当

BP

BC

=

3

5

时，二面角P-ED-C的大小为45⁰．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查满足二面角为45°的两线段比值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．