题目内容
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各个时间段内的频率如下表：| 时间（分钟） | 10～20 | 20～30 | 30～40 | 40～50 | 50～60 |
| L1的频率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
| L2的频率 | 0 | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）如果甲随机地选取了一条路径，求甲在允许的时间内能赶到火车站的概率；
（3）如果甲、乙都是随机地选取了一条路径，求他们在允许的时间内至少有一人不能赶到火车站的概率．
考点：相互独立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式
专题：概率与统计
分析：（1）设Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2，求出P（A1）和P（A2）的值，甲应选择概率值较大的路径．再求得P（B1）和P（B2），乙也应选择概率值较大的路径．
（2）甲在允许的时间内能赶到火车站的概率等于
P（A1）+
P（A2），计算求得结果．
（3）求得乙在允许的时间内能赶到火车站的概率，结合（2）求得他们在允许的时间内都能赶到火车站的概率，再用1减去此概率．即得所求．
（2）甲在允许的时间内能赶到火车站的概率等于
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）求得乙在允许的时间内能赶到火车站的概率，结合（2）求得他们在允许的时间内都能赶到火车站的概率，再用1减去此概率．即得所求．
解答：
解：（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，
Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．
用频率估计相应的概率，则有：P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5；
∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择路径L1；
P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9；
∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择路径L2，
（2）甲在允许的时间内能赶到火车站的概率等于
P（A1）+
P（A2）=0.55．
（3）乙在允许的时间内能赶到火车站的概率等于
P（B1）+
P（B2）=0.85，
故他们在允许的时间内都能赶到火车站的概率为0.55×0.85=0.4675，
故他们在允许的时间内至少有一人不能赶到火车站的概率为1-0.4675=0.5325．
Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．
用频率估计相应的概率，则有：P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5；
∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择路径L1；
P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9；
∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择路径L2，
（2）甲在允许的时间内能赶到火车站的概率等于
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）乙在允许的时间内能赶到火车站的概率等于
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故他们在允许的时间内都能赶到火车站的概率为0.55×0.85=0.4675，
故他们在允许的时间内至少有一人不能赶到火车站的概率为1-0.4675=0.5325．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
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