Question

【题目】已知正项数列的前n项和为，对于任意的，都有.

（1）求，；

（2）求数列的通项公式；

（3）令问是否存在正数m，使得对一切正整数n都成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）分别代入和，结合解方程可求得结果；

（2）利用得，两式作差整理可得，从而证得数列为等差数列，由此可求得通项公式；

（3）由（2）可求得，将问题转化为恒成立，通过求解不等式右侧数列的单调性，可求得时取最小值，由此可得的取值范围.

（1）当时，，又，；

当时，，即，解得：.

（2）由得：，

，

则，，

两式作差得：，，

数列是以为首项，为公差的等差数列，.

（3）由（2）知：，，

，，

假设存在整数，使得对一切正整数都成立，

设，，

则，

为递增数列，，

由恒成立知：，

存在正实数，使得对一切正整数都成立.