题目内容

设向量
a
=(sinx，1)，
b
=(1，cosx)，记f(x)=
a
•
b
，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
的值．
（1）f（x）=sinx+cosx
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+
2
sin(2x+
π
4
)
∴当2x+
π
4
=2kπ+
π
2
?x=kπ+
π
8
（k∈Z）时，
F(x)max=1+
2

最小正周期为T=
2π
2
=π
（2）∵f（x）=2f′（x）?sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx?tanx=
1
3

∴
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
=
3sin2x+cos2x
cos2x-sinxcosx
=
3tan2x+1
1-tanx
=
2
2
3
=2．
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设向量
a
=(sinx，1)，
b
=(1，cosx)，记f(x)=
a
•
b
，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
的值．
设向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=(cosx，cosx)．
（1）若
a
∥
b
（0＜x＜
π
2
），求tanx的值；
（2）求函数f（x）=
a
•
b
的最小正周期和函数在x∈(0，
π
2
)的最大值及相应x的值．
设向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=（cosx，cosx），(0＜x＜
π
2
)．
（1）若
a
∥
b
，求tanx的值；
（2）求函数f（x）=
a
•
b
的周期和函数最大值及相应x的值．
设向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求f（x）最大值和此时相应的x的值；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合．
设向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在x∈[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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