题目内容
设向量
=(sinx，cosx)，
=(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)=
•(
+
)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在x∈[-
，
]上的最大值和最小值．
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为
+
cos（2x+
），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（Ⅲ）由于x∈[-
，
]，故2x+
∈[-
，
]，结合函数图象可得函数的最小值和函数的最大值．
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（Ⅲ）由于x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=
•(
+
)=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos2x=1+
sin2x+
=
+
cos（2x+
），
故函数的周期等于
=π．
（Ⅱ）令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，故函数的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈[-
，
]，故2x+
∈[-
，
]，故当2x+
=-
时，函数取得最小值为1，当 2x+
=
时，函数取得最大值为
．
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1+cos2x |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
故函数的周期等于
| 2π |
| 2 |
（Ⅱ）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
（Ⅲ）由于x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的增区间，属于中档题．
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