Question

设向量

a

=(sinx，1)，

b

=(1，cosx)，记f(x)=

a

•

b

，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）先根据向量数量积的运算写出函数f（x）的解析式，对函数f（x）进行求导后代入到函数F（x）中化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，然后根据正弦函数的性质可得到答案．
（2）对f（x）=2f′（x）进行整理，可以得到x的正切值，然后对

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

分子分母同时除以tan²x得到tanx的关系式，即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=sinx+cosx
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

?x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，
F(x)max=1+

2

最小正周期为T=

2π

2

=π
（2）∵f（x）=2f′（x）?sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx?tanx=

1

3

∴

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

3sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

3tan2x+1

1-tanx

=

2

2 3

=2．

点评：本题主要考查向量的数量积运算、求导运算、两角和与差的正弦公式等内容．向量和三角函数的综合题是高考的热点，每年必考，要给予重视．