题目内容

设向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=（cosx，cosx），(0＜x＜
π
2
)．
（1）若
a
∥
b
，求tanx的值；
（2）求函数f（x）=
a
•
b
的周期和函数最大值及相应x的值．
分析：（1）利用
a
∥
b
的充要条件得到sinxcosx-
3
cos2x=0，化简求出tanx的值；
（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期；利用整体角处理的思路求出函数的最大值．
解答：解：（1）∵
a
∥
b
，
∴sinxcosx-
3
cos2x=0，
∵0＜x＜
π
2
，
∴cosx≠0，
∴sinx-
3
cosx=0，
∴tanx=
sinx
cosx
=
3
．
（2）f（x）=
a
•
b
=sinxcosx+
3
cos2x
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2
=sin(2x+
π
3
)+
3
2
．
∴T=
2π
2
=π．
∵x∈(0，
π
2
)，
2x+
π
3
∈(
π
3
，
4
3
π)
∴当2x+
π
3
=
π
2
，即x=
π
12
时，f（x）取得最大值，最大值为sin
π
2
+
3
2
=1+
3
2
点评：本题考查向量共线的充要条件、向量的数量积公式；考查求三角函数的性质问题应该先化简三角函数含一个角一个函数名的形式，属于一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
=(sinx，1)，
b
=(1，cosx)，记f(x)=
a
•
b
，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
的值．
设向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=(cosx，cosx)．
（1）若
a
∥
b
（0＜x＜
π
2
），求tanx的值；
（2）求函数f（x）=
a
•
b
的最小正周期和函数在x∈(0，
π
2
)的最大值及相应x的值．
设向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求f（x）最大值和此时相应的x的值；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合．
设向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在x∈[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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