Question

【题目】已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，求证：直线恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可得，由离心率公式可得，再由的关系可得，即可得到所求的椭圆方程；

（2）先求出直线的斜率不存在时直线的方程，直线过点；当直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合三点共线的条件，即可得到定点且定点为．

（1）由椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，则，

又离心率为，即，解得，∴，

∴椭圆的方程为.

（2）证明：当直线的斜率不存在，即方程，

代入椭圆方程可得，即有，

直线的方程为，直线过点.

当直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，

由，消去整理得．

由恒成立，

设，

则①，②，

，

由，

由①②可得，

则，即

综上可得直线过定点．