Question

【题目】已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．

解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，

即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），

即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；

由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），

又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；

由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），

可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．

故选：B．