Question

【题目】设函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）,分和讨论正负，进而得到单调性；（2）法一：当证明当时，构造 证明即可；法二：设，证明

（1）依题意定义域为，，

令，则，

①当时，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增；

②当时，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减；

综上，当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.

（2）①当时，设，

；

②当时，设

则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以；

设，则，

所以单调递增，所以，所以即单调递增，

故；

因为，所以

即，所以，

即.

解法二：

（1）同解法一；

（2）设，则，

设，则，

设，则，所以在上单调递增，

所以，，所以在上单调递增，

又因为，，即，

所以恰有一个零点；

即，即，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

设，因为，

所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，即.

解法三：

（1）同解法一；

（2）同解法二得，

设，因为，所以

设则

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，则，

所以，即.