Question

已知a为常数，函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则（　　）

• A、f（x₂）＜

  1-2ln2

  4

• B、f（x₂）＞

  1-2lnx

  4

• C、f（x₂）＞

  2ln2+3

  8

• D、f（x₂）＜

  3ln2+4

  8

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：x₂是方程g（x）=0的根，将a用x₂表示，消去a得到关于x₂的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可得出结论．

解答： 解：∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′（x）=

2x2+2x+a

1+x

（x＞-1）
令g（x）=2x²+2x+a，则g（0）=a＞0，∴-

1

2

＜x₂＜0，a=-（2x²₂+2x₂），
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）．
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-

1

2

，
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
（1）当x∈（-

1

2

，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0）单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．
∴x∈（-

1

2

，0），h（x）＞h（-

1

2

）=

1-2ln2

4

；
故f（x₂）=h（x₂）＞

1-2ln2

4

．
故选：B．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．