Question

【题目】已知 为整数，且，，为正整数，，，记.

(1)试用分别表示；

(2)用数学归纳法证明：对一切正整数，均为整数．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)见解析.

【解析】

（1）令，结合条件，即可求解；

（2）运用数学归纳法和两角和差的公式，结合条件，即可得到证明.

(1)由题意，令，可得，

所以

(2) ①当n＝1时，由(1)得A1＝x2－y2，B1＝2xy.

因为x，y为整数，

所以A1，B1均为整数，所以结论成立；

②当n＝k(k≥2，k∈N*)时，假设Ak，Bk均为整数，

则当n＝k＋1时，Ak＋1＝(x2＋y2)k＋1cos (k＋1)θ

＝(x2＋y2)(x2＋y2)k(cos kθcos θ－sin kθsin θ)

＝(x2＋y2)cos θ·(x2＋y2)kcos kθ－(x2＋y2)ksin kθ·(x2＋y2)sinθ

＝A1·Ak－B1·Bk.

因为A1，B1，均为整数，所以Ak＋1也为整数，

即当n＝k＋1时，结论也成立．

综合①②得，对一切正整数n，An均为整数．