Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－aln x(a>0)的最小值是1.

(1)求a；

(2)若关于x的方程f2(x)ex－6mf(x)＋9me－x＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)a＝2.(2) .

【解析】试题分析：

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出的最小值，问题转化为，记，根据函数的单调性求出的值即可；

（2）由条件可得，令，原问题等价于方程在区间内有唯一解，通过讨论的符号，求出的范围即可.

试题解析：

(1)f′(x)＝2x－＝(x>0).

所以，当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.

故f(x)min＝f＝－ln，

由题意可得：－ln＝1，即－ln－1＝0，

记g(a)＝－ln－1(a>0)，

则函数g(a)的零点即为方程－ln＝1的根；

由于g′(a)＝－ln，故a＝2时，g′(2)＝0，

且0<a<2时，g′(a)>0；a>2时，g′(a)<0，

所以a＝2是函数g(a)的唯一极大值点，

所以g(a)≤g(2)，又g(2)＝0，所以a＝2.

(2)由条件可得f2(x)e2x－6mf(x)ex＋9m＝0，

令g(x)＝f(x)ex＝(x2－2ln x)ex，

则g′(x)＝ex，

令r(x)＝x2＋2x－－2ln x(x≥1)，

则r′(x)＝2x＋2＋－>2x－＝≥0，

r(x)在区间[1，＋∞)内单调递增，

∴g(x)≥g(1)＝e；

所以原问题等价于方程t2－6mt＋9m＝0在区间[e，＋∞)内有唯一解，

当Δ＝0时可得m＝0或m＝1，经检验m＝1满足条件.

当Δ>0时可得m<0或m>1，

所以e2－6me＋9m≤0，解之得m≥，

综上，m的取值范围是.