Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数， .

（1）求证： ；

（2）若存在，使，求的取值范围；

（3）若对任意的恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）或（3）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得函数的最小值，所以.

(2)原问题等价于函数有零点时的的取值范围.分类讨论：①当时， 有零点.②当时， 无零点.③当时， 有零点.则的取值范围是或.

(3)原问题即.构造函数，其值域为，且.结合导函数可得在上为减函数，所以，. 记区间，构造新函数，结合题意讨论可得的最小值为.

试题解析：

（1）令，得，且当时， ；当时， ，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值. 因为，所以.

（2）设，题设等价于函数有零点时的的取值范围.

①当时，由，所以有零点.

②当时，

若，由，得；

若，由（1）知， ，所以无零点.

③当时， ，又存在， ，所以有零点.

综上， 的取值范围是或.

（3）由题意， ，因为，所以.

设，其值域为，

由于，所以.

又，所以在上为减函数，所以，.

记区间，则.①

设函数，

一方面， ；

另一方面， ，

存在，

所以，使，即，所以.②

由①，②知， ，

从而，即的最小值为.