Question

17．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（1）记F（x）=f（x）-g（x），证明：F（x）在（1，2）区间内有且仅有唯一实根；
（2）证明：对?x∈（0，+∞），xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；
（2）构造令h（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$，确定单调性，即可证明结论．

解答 证明：（1）F（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$，定义域是（0，+∞），
F′（x）=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
x＞1时，F′（x）＞0，∴F（x）在（1，2）递增，
又F（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，F（2）=2ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
而F（x）在（1，+∞）上连续，
根据零点存在定理可得：F（x）=0在区间（1，2）有且只有1个实根；
（2）令h（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$，定义域是（0，+∞），
h′（x）=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
0＜x＜1时，h′（x）＜0，x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
∴h（x）＞h（1）=$\frac{1}{e}$＞0，
∴对?x∈（0，+∞），xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的零点存在定理，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．