Question

12．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x₀，y₀）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列命题正确的是③④（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y=e^x
②直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx
③直线l：y=-x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x³．

Answer 1

分析 分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），即可得出正确的选项．

解答 解：对于①，函数y=e^x的导数f′（x）=y=e^x，则f′（0）=1，则切线方程为y=x+1，
设g（x）=e^x-（x+1），则g′（x）=e^x-1，当x＞0，g′（x）＞0，函数g（x）递增，
当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，
则当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值g（0）=1-1=0，
则g（x）≥g（0）=0，即e^x≥x+1，则曲线不在切线的两侧，故①错误．
对于②，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，则y′|_x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，
g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题②错误，
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|_x=π=-1，直线y=-x+π是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＞sinx，
满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=-x+π两侧，故命题③正确；
对于④，由y=x³，得y′=3x²，则y′|_x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题④正确；
综上，以上正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用．