Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a₂＞a₁，|a_n+1-a_n|=2ⁿ（n∈N^*），若数列{a_2n-1}单调递减，数列{a_2n}单调递增，则数列{a_n}的通项公式为a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：方法一：先采用列举法得a₁=-1，a₂=1，a₃=-3，a₄=5，a₅=-11，a₄=21，…，然后从数字的变化上找规律，得an+1-an=(-1)n+12n，再利用“累加求和”即可得出．
方法二：由a2n+1-a2n=±22n，a2n-a2n-1=±22n-1，可得a2n+1-a2n-1=±22n±22n-1，而{a_2n-1}递减，a_2n+1-a_2n-1＜0，故a2n+1-a2n=-22n；
同理，由{a_2n}递增，得a2n-a2n-1=22n-1；又a₂＞a₁，可得an+1-an=(-1)n+12n，即可得出．

解答： 解：方法一：先采用列举法得a₁=-1，a₂=1，a₃=-3，a₄=5，a₅=-11，a₆=21，…，
然后从数字的变化上找规律，得an+1-an=(-1)n+12n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（-1）ⁿ•2^n-1+（-1）^n-1•2^n-2+…-2²+2-1
=

-1[(-2)n-1]

-2-1

=

(-2)n-1

3

．
方法二：∵a2n+1-a2n=±22n，a2n-a2n-1=±22n-1，
∴a2n+1-a2n-1=±22n±22n-1，
而{a_2n-1}递减，∴a_2n+1-a_2n-1＜0，故a2n+1-a2n=-22n；
同理，由{a_2n}递增，得a2n-a2n-1=22n-1；
又a₂＞a₁，∴an+1-an=(-1)n+12n，以下同上．

点评：本题考查了含绝对值数列的单调性，考查了猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．