Question

数列{a_n}满足a₁=a₂=1．a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N⁺），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：首先构造一个等比数列，设a_n+1+xa_n=y（a_n+xa_n-1），则有a_n+1=（y-x）a_n+xya_n-1，由a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N⁺），得a_n+1=a_n+a_n-1，n≥2，从而得到an+1+

5 -1

2

an=

5 +1

2

(an+

5 -1

2

an-1)，由此能求出结果．

解答： 解：首先构造一个等比数列，设a_n+1+xa_n=y（a_n+xa_n-1），
则有a_n+1=（y-x）a_n+xya_n-1，①
∵a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N⁺），∴a_n+1=a_n+a_n-1，n≥2，②
由①②，得

y-x=1 xy=1

，解得

x= 5 -1 2 y= 5 +1 2

或

x= -1- 5 2 y= 1- 5 2

，
取前一解，有an+1+

5 -1

2

an=

5 +1

2

(an+

5 -1

2

an-1)，
设bn=an+1+

5 -1

2

an，则bn=

5 +1

2

bn-1，
∴数列{bn}为等比数列，首项b1=1+

5 -1

2

=

5 +1

2

，公比q=

5 +1

2

，
∴b_n=（

5 +1

2

）ⁿ，即an+1+

5 -1

2

an=(

5 +1

2

)n，③
再次构造等比数列，设an+1+x(

5 +1

2

)n+1=

1- 5

2

[an+x(

5 +1

2

)n]，
则有an+1=

1- 5

2

an+(

5 +1

2

)n(-

5

x)，
对照③式，得-

5

x=1，∴x=-

5

5

，
于是an+1-

5

5

(

5 +1

2

)n+1=

1- 5

2

[an-

5

5

(

5 +1

2

)n]，
设cn=an-

5

5

(

5 +1

2

)n+1，则有数列{c_n}为等比数列，
首项为c1=

5- 5

10

，公比为

1- 5

2

，
∴c_n=

5- 5

10

(

1- 5

2

)n-1=-

5

5

(

1- 5

2

)n，
∴an=

5

5

(

5 +1

2

)n-

5

5

(

1- 5

2

)n．
故答案为：

5

5

(

5 +1

2

)n-

5

5

(

1- 5

2

)n

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．