Question

把函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移

π

6

个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g（x）．
（Ⅰ） 求ω和φ的值；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）=g²（x），x∈[-

5π

24

，

π

4

]的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角函数图象平移伸缩的知识确定g（x）=2cos（

ωx

2

+

ωπ

12

+∅），再根据周期和函数为奇函数确定ω和φ的值．
（Ⅱ）根据h（x）=f（x）-g²（x），确定出h（x），将函数化成一角一函数的形式，从而确定最值．

解答：解：（Ⅰ）m（x）=2cos（

ωx

2

+∅）?g（x）=2cos（

ωx

2

+

ωπ

12

+∅）
由

2π×2

ω

=2π?ω=2．
则g（x）=2cos（x+∅+

π

6

），
g（x）为奇函数，
又∅+

π

6

=kπ+

π

2

，且0＜φ＜π
故∅=

π

3

（Ⅱ）h（x）=f（x）-g²（x）=2cos（2x+

π

3

）-4sin²x=cos2x-

3

sin2x-2（1-cos2x）
=3cos2x-

3

sin2x-2=-2

3

sin（2x-

π

3

）-2，
当x∈[-

5π

24

，

π

4

]?2x∈[-

5π

12

，

π

2

]?2x-

π

3

∈[-

3π

4

，

π

6

]，
故h（x）_max=2

3

-2，h（x）_min=-

3

-2．

点评：本题考查了三角函数图象的平移，周期性，奇偶性，最值的综合，属于中档题．